约瑟夫环数学算法的优化(转)

问题描述:已知n个人(以编号1,2,3…n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到m的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列,求最后一个出列人的编号。

递归的力量:优化到O(N)

在Donald E. Knuth的《具体数学》中,对m=2的情况使用了递归的解决方法,并推出了一个常数表达式,使得此种情况下,算法的复杂度为常量。同时,这种思路也可以应用于n>2 的情况,但无法得出常数表达式,推广后的递归算法具体的思路如下:

当n个人围成一圈并以m为步长第一次报数时,第m个人出列,此时就又组成了一个新的,人数为n-1的约瑟夫环,要求n个人的约瑟夫环问题的解,就依赖于求n-1个人的约瑟夫问题的解,要求n-2个人的约瑟夫问题的解,则依赖于求n-2个人的约瑟夫换问题的解,依次类推,直至求1个人的时候,该问题的解。

让我们回到问题的原始描述中,m是一个固定的值,即步长;n为一个圈的总人数,k为这个圈第一个报数的人的编号,显然,n在每次递归过程中会减1,而k则可以由m,n来唯一确定,这样的话,当n=1的时候,我们所确定的当前的k值,就是我们所要求的解。

那么,我们可列出如下的递归式:

P(n, m, k)=1 (i = 1)

P(n, m, k)=(P(i – 1, m, k ) + m – 1) % n + 1; (i > 1)

(此处m需先减1是为了让模n的值不为0)

这样,我们可以很轻松的将此算法具体实现。这里给出它的递推表示法以方便进下一步讨论(C言描述):

long Josephus(long n,long m,long k){     //参数分别为:人数,出圈步长,起使报数位置,
    for (long i = 1; i <= n; i++)
         k = (k + m – 1) % i + 1;
    return k; //返回最后一人的位置
}

显然,这个算法的复杂度仅为O(n),相比模拟算法,有了很大的改进。

再优化:与人数无关
上面的算法相比最初的模拟算法效率已经大大提升了,那么,该算法还有改进的余地么?
事实上,如果我们观察上述算法中的变量k,他的初始值为第一个出圈人的编号,但在循环的过程中,我们会发现它常常处在一种等差递增的状态,我来看这个式子:k = (k + m – 1) % i + 1,可以看出,当i比较大而k+m-1比较小的时候,k就处于一种等差递增的状态,这个等差递增的过程并不是必须的,可以跳过。
我们设一中间变量x,列出如下等式:
k + m * x � 1 = i + x
解出x,令k = k + m * x,将i + x直接赋值给 i,这样就跳过了中间共x重的循环,从而节省了等差递增的时间开销。
可是其中求出来的x + i可能会超过n,这样的结果事实上已经告诉我们此时可以直接结束算法了,即:
k = k + m * (n – i) ;
i = n;
结束。
另外对于m = 1的情况可以单独讨论:
当k == 1时,最终结果就是n;
当k != 1时,最终结果就是(k + n – 1) % n。
整个算法的C语言描述如下:

long Josephus( long n, long m, long k ){ //分别为:人数,出圈步长,起使报数位置,
    if (m == 1)
         k = k == 1 ? n : (k + n – 1) % n;
            else{
                for (long i = 1; i <= n; i++){
                    if ((k + m) < i){
                         x = (i – k + 1) / (m – 1) – 1;
                        if (i + x < n){
                             i = i + x;
                             k = (k + m * x);
                         }
                        else{
                             k = k + m * (n – i) ;
                             i = n;
                         }
                    }
                    k = (k + m – 1) % i + 1;
                }
           }
     return k; //返回最后一人的位置
}

该算法的算法复杂度在m<n时已经与一个圈中的人数n没有关系了,即使在n=2000000000,m=3,k=1的情况下,也只做了54次循环,事实上,大多数的情况都是m<n,且m相对来说很小,此时,这个算法的复杂度仅为O(m);但当而m>=n时,用方程求出的值不能减少循环重数,算法复杂度仍为O(n)。

转自:http://wenwen.soso.com/z/q32613561.htm

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